Analysis

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1 0 Vorbemerkungen

1	0.0 Abkürzungen, Vorbemerkungen, Beweismethoden

Direkter Beweis

2 Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis

3	0.1 Mengen

Definition, gleiche Mengen, leere-, Teilmengen

4 Vereinigung, Schnitt, Differenz, disjunkte

5 Komplement, Potenzmenge,kartesisches Produkt

8 Rechenregeln,Folgerungen

10 System von Mengen

11 Äquivalenzklasse/Partition

100 0.2 Relationen, Funktionen

Definition Relation, Äquivalenzrelation,
Äquivalenzklassen

103 Partition

106 Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Urbild

108 Eigenschaften von Bild und Urbild einer Funktion f

200 0.2f Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen

202 Verkettete Abbildungen

203 Identische Abbildungen

300 1 Axiomatische Einführung der reellen und

komplexen Zahlen

300 1.1 Definition Gruppe, Körper, Körperaxiome
301 Verknüpfung, Verknüpfungsgebilde
302 Definition Gruppe Halbgruppe,, abelsche Gruppe

304 Untergruppe
306 Ring, Körper

314 Abgeleitete Rechenregeln (RR) in K

400 1.2 Die Anordnungsaxiome

401 Abgeleitete Rechenregeln in einem angeordneten

Körper (RR<)

407 Maximum, Minimum

408 Absolutbetrag

409 Dreiecksungleichung

412 Vorzeichen

500 1.3 Das Vollständigkeitsaxiom und die Definition der

reellen Zahlen

500 Schranken, Supremum, Infimum

501 Schranken, Maximum, Minimum

506 Definition vollständiger Körper

507 Definitionen Intervalle, Dedekindsche Schnitte

518 Quadratwurzel

519 Metrik, Metrischer Raum

600 1.4 Funktionenräume, gerade/ungerade Funktionen,

600 Beschränkte Funktion
601 Monotone Funktionen

601 Beschränkte Funktion

700 1.5 Die natürlichen Zahlen und das Prinzip der

vollständigen Induktion

700 Definition Induktive Mengen, natürliche Zahlen
und deren Eigenschaften

702 Vollständige Induktion

703 Rechenregeln in N

705 Vollständige Induktion 2. Fassung

707 Archimedisches Prinzip

708 Wohlordnungssatz

711 Summen, Produkte

717 Unleichung von Bernoulli

750 1.5f P15f
750 Abzählbare…. Mengen
Teilmengen abzählbarer Mengen
751 Abzählbares kartesisches Produkt
752 Abzählbarkeit rationaler Zahlen
758 Maximum und Minimum zu Mengen

758 Ganze, rationale, irrationale Zahlen
760 N, Z, Q sind abzählbar, R und R\Q sind überabzählbar

759 Das größte Ganze

764 Division mit Rest

764 g-Adische Zahlendarstellung

766 Intervalle, Intervallschachtelungsprozess

800 1.6 Die komplexen Zahlen

801 Eigenschaften der komplexen Zahlen

803 Potenz komplexer Zahlen

900 1.7 Einige Identitäten, Ungleichungen und Definitionen

901 Teleskopsumme

904 Endliche geometrische Reihe

Abelsche partielle Summation

906 Fakultät, Binominalkoeffizient
906 Identitäten zu Binominalkoeffizienten

908 Binominalsatz

1000 1.8 Arithmetisches und geometrisches Mittel
1000 AGM Ungleichung

1100 1.9 Polynome, Nullstellen, grad, rationale Funktionen
1103 Nullstellen
1106 Divisionssatz
1107 Identitätssatz für Polynome

1150 1.9f
1150 Cauchy-Schwarz Ungleichung
1151 Lagrange Identität
1152 Cauchy Produkt von Polynomen
1152 Minkovsky Ungleichung, Interpolation mit Polynomen
1153 Hauptsatz der Polynominterpolation
1153 Lagrange Darstellung des Interpolationspolynoms
1153 Interpolationspolynom Newtonsche Darstellung
1155 Wurzelfunktion

1157 nte Wurzelfunktion

1200 2 Kapitel Konvergenz von Folgen und Reihen

1200 2.1 Konvergenz und Grenzwert

1209 Beschränkte Folge
Nullfolgen

1250 2.1f Cauchyfolge
1250 Eigenschaften konvergenter Folgen

1255 Vergleiche von Folgen

1300 2.2 Reelle, insbesondere monotone Folgen

Monotone Folgen,Definition Teilfolge, Umordnung,

triviale Abänderung

1301 Monotone Konvergenz
Konvergenz von Teilfolgen, Umordnungen und
trivialen Abänderungen konvergenter Folgen

1307 monotone Teilfolge
1308 Bolzano Weierstraß (BW)

1308 Konvergenzkriterium von Cauchy
1309 Uneigentliche Kovergenz

1315 Division durch Multiplikation und Addition

1315 Wurzelziehen durch Division und Multiplikation und

Addition

1400 2.3 Expotential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen

bis 1403 verschiedene Sätze

1403 Intervallschachtelung für e
Expotentialfunktion Beschränkung
1404 Expotentialfunktion komplex

1408 e: Eulersche Zahl,
reelle-, komplexe Expotentialfunktion

1409 Eigenschaften Expotentialfunktion

1450 2.3f

1451 exp: R(0,) ist bijektiv

1452 natürliche Expotentialfunktion mit Basis e

Umkehrfunktion log(0,) R
natürlicher Logarithmus bzw Logarithmus zur Basis e

1453 Eigenschaften des Logarithmus

1455 Potenz zur Basis a mit Exponenten b

1456 allgemeine Expotentialfunktion, Logarithmusfunktion

allgemeine Potenzfunktion

1456 Eigenschaften dieser Funktionen

1460 Wichtige Grenzwerte

1500 2.4 Häufungswerte (HW) von Zahlenfolgen

Häufungspunkte (HP) von Mengen

1502 Bolzano Weierstrass (BW)

1504 Cauchyfolge

1505 min H, max H.

1507 limes superior, limes inferior

1509 Beschränkte, konvergente Folgen und Häufungswert

1550 2.5 Doppelfolgen

1550 konvergente

1550 Cauchysches Konvergenzkriterium

1551 Iterierter Limes

1552 Gleichmäßige Konvergenz

1600 3 Unendliche Reihen

3.1 Definition unendliche Reihen, nte Partialsumme

Konvergenz

1602 Konvergenz/Divergenz der geometrischen Reihe
Rechenregeln für unendliche Reihen

1605 Teleskopreihe

1606 alternierende Reihe

1607 Leibniz Kriterium

1700 3.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern,

absolut konvergente Reihen sind konvergent

1701 Majorantenkriterium, Minorantenkriterium

1702 Wurzelkriterium

1704 Quotientenkriterium

1717 Cauchy-Schwarz-Ungleichung

1719 Verdichtungssatz von Cauchy

1750 3.2f Umordnung,unbedingt-, bedingt konvergent

1753 Riemannscher Umordnungssatz

1756 Absolute Konvergenz_unbedingte Konvergenz

1765 3.2ff Def Doppelreihen, Doppelreihensatz

1769 Cauchyscher Doppelreihensatz

1779 Großer Umordnungssatz

1781 Vertauschung von Grenzwerten

1782 Expotentialfunktion,

1783 Expotentialreihe

1784 Reihen-Cauchy-Produkt

1784 Cauchy-Produktsatz

1800 3.3 Dual- und Dezimalzahlen

1801 g-adische Zahldarstellung reeller Zahlen

1803 g-adische Entwicklung

1805 periodische Entwicklung Q

1900 3.4 Abelsche partielle Summation, Dirichlet-Kriterium

1901 Konvergenzkriterium von Du Bois-Reymond

1902 Konvergenzkriterium nach Dedekind

2000 3.5 Potenzreihen

2001 Konvergenzradius, Berechnung mit Wurzel

2004 Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen

2100 3.6 Spezielle Potenzreihen und Funktionen

Eigenschaften der komplexen Expotentialfunktion

2102 Einheitskreis, Bogenmasswinkel

2103 Umfang Einheitskreis, Zusammenhang Expotentialfkt
2104 Definition hyperbolische Funktionen
2105 Eigenschaften hyperbilische Funktionen

2104 Definitionen sin, cos

2107 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

2200 4 Funktionsgrenzwerte und stetige Funktionen

2200 4.1 Topologische Begriffe

Umgebung, Menge aller inneren Punkte,

offener Kern von M, offene Menge

2201 Häufungspunkt, abgeschlossene Hülle von M

Kompakte Menge, Randpunkt, isolierter Punkt,
uneigentlicher HP von M

2203 Vereinigung aller offenen Teilmengen von M

2205 Durchschnitt aller geschlossenen Obermengen von M

2300 4.2 Funktionsgrenzwerte, Konvergenz Funktionenfolgen

2300 Definitionen Konvergenz von Funktionen

2302 dto für Körperelemente

2303 Monotone Funktion

2304 beschränkte Funktion

2304 Funktionen Konvergenz Folgenkriterium

2307 Funktionen Konvergenz Cauchykriterium

2310 Funktionen Konvergenz Grenzwertregeln

2320 Grenzwert monotoner & beschränkter Funktionen

2350 4.2f Funktionenfolgen,

punktweise-, gleichmäßige Konvergenz

2355 Funktionenreihen

punktweise-, gleichmäßige Konvergenz

2356 Funktionenfolge Cauchykriterium

2356 Funktionenreihen Cauchykriterium

2361 Majorantenkriterium zu Funktionenreihen

2400 4.3 Stetige Funktionen

2401 ...komplexe Mengen

2408 Expotential-, trigonom.-, hyperb. Funktionen

2409 Folgenstetigkeit

2409 Rechenregeln für Stetigkeit

2450 4.3f Stetigkeit Potenzreihen

2455 Identitätsssatz für Potenzreihen

2455 Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen

2459 Fibonnacizahlen

2500 4.4 Hauptsätze über stetige Funktionen

2500 Zwischenwertsatz zu stetigen Funktionen

2501 Nullstellen

530 4.4f Umkehrfunktion und Stetigkeit

2532 sin cos Werte zwischen 0 und 2,
2534 cos, kleinste positive Nullstelle

2535 Definition Pi

2537 Periodizitäten und Idenditäten der

trigonometrischen Funktionen

2540 Umkehrfunktionen zu sin, cos,...

2541 Parametrisierung des Einheitskreises in C

2544 Definition Logarithmus

2560 4.4ff Globale Extrema

2563 Gleichmäßige Stetigkeit

2564 Gleichmäßige Stetigkeit von f

2565 Beschränktheit f(M)

2600 4.5 Punktweise/gleichmäßige Konvergenz von

Funktionenfolgen und -Reihen

2602 Cauchykriterium Funktionenfolgen und -Reihen

2604 Majorantenkriterium

2609 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

2700 5 Differentialrechnung

5.1 Der Begriff der Ableitung, höhere Ableitungen

2702 stetig differenzierbar

2704 Differenzierbarkeit

2707 Differenzieren Potenzreihen, Konvergenzradius

differenzierte Reihe

2711 Expotential-, trigonometrische-, hyperbolische

Funtionen sind differenzierbar

2750 5.1f Differentiationsregeln

2755 Folgerungen,

Ableitungen:

rationale Funktionen,trigonometrische,

hyperbolische Funktionen, Logarythmus, (ax)’,

(Arcsinh x)’, Arccosh x)’

2757 Produktregel für höhere Ableitungen

2800 5.2 Extrema, Mittelwertsätze der Differentialrechnung

2800 notwendige Bedingung für lokale Extrema

2802 Satz von Rolle

2803 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

2804 Erweiterter Mittelwertssatz der

Differentialrechnung

Monotonie und Ableitung

2806 notwendige Bedingung für lokale Extrema anderer Beweis

2807 Maximum, Minimum

2808 Zwischenwertsatz von Darboux

2810 Näherungen Newtonverfahren

2850 5.2f Grenzwertregel von de l’Hospital

2856 konvexe bzw. konkave Funktionen

2861 Wendepunkt, notwendige Bedingung

Trigonometrische Funktionenräume

2900 5.3 Der Satz von Taylor

2900 n-fache Nullstellen von Funktionen

2901 Potenzreihen und Ableitungen

2903 n-tes Taylorpolynom und Restglied

2904 Satz von Taylor

2912 Taylorreihe um Entwicklungspunkt x0.

2916 Hinreichende Bedingung für lokale Extrema bzw.
Wendepunkte

3000 5.4_5.6

3000 5.4 Gliedweises Differenzieren

3000 Vertauschung von Grenzwertübergängen

3002 Gliedweises differenzieren von Folgen und Reihen

3007 5.6 Das Argument und der Logarithmus einer komplexen Zahl

3008 z=r(cos +isin)=rei
log z

3100 6 Integralrechnung3100

6.1 Riemannsummen und Riemannintegral

Zerlegungen, Zwischenpunktvektoren

3101 Ober-, Unterintegral

3102 Riemann integrierbar

3103 Verfeinerung zur Zerlegung

3107 Ober- und Untersummen, Ober-, Unterintegral

3113 Riemann-Integrierbarkeit und Zwischenpunktsummen

3117 Riemann Integrierbarkeitskriterium

3119 Fundamentalabschätzung

3200 6.2 Integrierbarkeit von Funktionen

3200 Setige und monotone Funktionen R-integrierbar

3204 Produkte, Summen integrierbarer Funktionen

3202 Lipschitzbedingung und Integrierbarkeit

3207 Integration über [a,c],[c,b]

3209 Mittelwertsatz der Integralrechnung

3300 6.3 Hauptsätze der Differenzial- und Integralrechnung

3303 Stammfunktion

3303 Hauptsatz der DI

3307 F+c Stammfunktion

3400 6.4 Weitere Ergebnisse

3400 Partielle Integration

3402 Substitutionsregel

3409 Integration von Ungleichungen

3410 Mittelwert, Mittelwertsatz der Integralrechnung

3411 Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung

3412 2. Mittelwertsatz der Integralrechnung

3413 Gliedweise Integration

3500 6.5 Die Partialbruchzerlegung

3500 Fundamentalsatz der Algebra

3504 Partialbruchzerlegung im Komplexen

3507 Partialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen

3600 6.6 Der Taylorsche Satz

3600 n fache Stammfunktion

3602 Satz von Taylor

3603 lokale Max/Min und 2n- 2n+1 fache Differenzierung

3604 Taylorpolynom und Restglied

3606 Binominalreihe

3700 6.7 Uneigentliche Integrale

3702 Cauchy Kriterium für uneigentliche Integrale

3703 absolut uneigentlich integrierbar zu uneigentlichen
Integralen

3704 absolute Konvergenz...

Konvergenz zu

Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale

3705 Integralkriterium für Reihen